De vlucht van een pijl zonder en met luchtweerstand

De vlucht van een pijl zonder luchtweerstand

• Het traject van een pijl is, bij afwezigheid van luchtweerstand, enkel afhankelijk van de snelheid bij vertrek, de hoek waarin de pijl afgeschoten wordt, de hoogte van waarop de pijl vertrekt, de valversnelling en de hoogte van het eindpunt.
• Om de formule te bepalen hebben we dus nodig:
  • snelheid $v_{0}$ (in ${\frac {m}{s}})$)
  • valversnelling $g=9.81{\frac {m}{s^{2}}}$)
  • $\theta _{0}$ de hoek waaronder de pijl afgeschoten wordt (in graden)
  • begin hoogte (in m)
  • eind hoogte (in m)
  • $x_{0}$: horizontale beginpositie
  • $x$ = de afgelegde horizontale afstand
  • $y_{0}$: verticale beginpositie
  • $y$ = de afgelegde verticale afstand (=hoogte)
• De positie van de pijl wordt bepaald door de formule:

$y=y_{0}+tan(\theta _{0})\left(x-x_{0}\right)-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\theta _{0}}}(x-x_{0})^{2}$

• de maximale afstand, R, die een pijl kan afleggen (zonder luchtweerstand) wordt gegeven door de formule

$R={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2g}{v_{0}^{2}sin^{2}\theta _{0}}}(x-x_{0})}}\right)sin2\theta _{0}$

• Wanneer de begin en eind hoogte dezelfde is, kan formula vereenvoud worden tot:

$R={\frac {v_{0}^{2}}{g}}sin2\theta _{0}$

• • Deze afstand is maximaal voor een hoek van 45°. Dan wordt $sin2\theta _{0}$ gelijk aan 1 en is de formule

$R_{max}={\frac {v_{0}^{2}}{g}}$

• De tijd ($T$) dat de pijl onderweg is wordt gegeven door de formule

$T={\frac {v_{0}}{g}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2g}{v_{0}^{2}sin^{2}\theta _{0}}}(y-y0)}}\right)sin\theta _{0}$

• De maximale hoogte ($H$) dat een pijl kan bereiken wordt gegeven door de formule:

$H=y_{0}+{\frac {v_{0}^{2}}{2g}}sin^{2}\theta _{0}$

• Hieronder staan de trajecten voor een pijl afgeschoten aan 200 fps (links) en 270 fps (rechts).
  • De vorm van de trajecten is dezelfde voor de 200 fps en de 270 fps pijl, enkel de hoogte en afstand is verschillend.

• 

  Vlucht van een pijl aan 200 fps

• 

  Vlucht van een pijl aan 270 fps

• Indien er geen luchtweerstand is, zou je zelfs met een moderne compound boog van 70# gemakkelijk over de Eifeltoren heen kunnen schieten!
  • Vandaar altijd zorgen voor een goede pijlenopvang achter het doel, nooit de boog naar boven aanspannen, enz.

• Vermits een model zonder luchtweerstand niet realistisch is, dienen we de berekeningen te herhalen met luchtweerstand. (to be continued)

Vlucht van de pijl rekening houdend met de luchtweerstand.

• De luchtweerstand voor een object in beweging wordt weergegeven door de volgende formule
  • $F_{d}={\frac {1}{2}}\rho v^{2}C_{d}A$
• met:
  • $\rho$ de dichtheid van het medium waarin het voorwerp zich voortbeweegt, hier de lucht.
  • $v$ de snelheid van het voorwerp in m/s
  • $C_{d}$ de drag coefficiënt (weerstandscefficiënt)
  • $A$ de oppervlakte van de doorsnede loodrecht op de bewegingsrichting
  • $F_{d}$ de kracht die uitgeoefend wordt op het voorwerp tijdens de beweging in het medium (lucht)

• Hierboven hielden we enkel rekening met de valversnelling in de y-component, moeten we hier rekening houden met de luchtweerstand voor zowel de x- als de y-component van de snelheid.
  • $v_{0}$ beginsnelheid
  • $\theta$ de hoek waaronder de pijl wordt afgeschoten.
  • $vx_{0}=v_{0}cos(\theta )$ de x-component van de beginsnelheid
  • $vy_{0}=v_{0}sin(\theta )$ de x-component van de beginsnelheid

• We kunnen dus op zowel de x- als de y-component van de snelheid, per klein tijdseenheid dat het voorwerp bewogen heeft, de nodige aanpassingen doen. Dit is de methode van Euler en is een numerieke methode om dit probleem op te lossen.
  • Per klein tijdsinterval $dt$ kunnen we de aangepaste snelheid berekenen.
• Vermits $F=m.a$ wil dit zeggen dat $a={\frac {F}{m}}$
  • Dus voor $F_{d}$ kunnen we dus stellen dat de (negatieve) versnelling door de luchtweerstand gelijk is aan:
    • $a_{d}={\frac {F_{d}}{m}}={\frac {1}{2}}{\frac {\rho v^{2}C_{d}A}{m}}$
  • Deze versnelling (=vertraging want werkt in tegengestelde richting aan de snelheid van het voorwerp) kunnen we dan gebruiken om de snelheid
    • voor de x-component van de snelheid
      • $\Delta vx=-a_{d}dt$
      • $\Leftrightarrow v_{2}-v_{1}=-a_{d}dt$
      • $\Leftrightarrow v_{2}=v_{1}-a_{d}dt$
    • voor de y-component van de snelheid
      • hier werkt ook de valversnelling mee
      • $\Delta vy=-(g+a_{d})dt$
      • $\Leftrightarrow v_{2}-v_{1}=-(g+a_{d})dt$
      • $\Leftrightarrow v_{2}=v_{1}-(g+a_{d})dt$
    • Dus de nieuwe snelheid op $dt$ verder in de tijd wordt dus berekend op basis van de voorgaande snelheid + de kleine aanpassing. Door dit te doen vanaf de beginsnelheid en dit te herhalen over het gehele traject bekomen we dus de baan van de pijl met luchtweerstand.
  • Een voorwerp dat naar beneden valt zal versnellen totdat het aan zijn eindsnelheid (terminal velocity) komt.. vanaf dat moment is de snelheid van het vallend voorwerp constant en versnelt het niet meer.
  • De Eindsnelheid/Terminal velocity wordt weergegeven door de formule: $v_{term}={\sqrt {\frac {2m.g}{\rho AC_{d}}}}$
  • In het computer programma dat we gebruiken om de baan van de pijl met luchtweerstand te berekenen, moeten we ook rekening houden dat indien de snelheid bij het terug naar beneden vallen groter zou worden dat de Eindsnelheid, om deze dus te beperken tot maximaal de Eindsnelheid/terminal velocity.
  • ${\displaystyle }$
• Wanneer we dit toepassen voor hoeken van 89, 75, 45 en 30 graden resulteert dit in volgende grafiek:

• • Wat me nog niet helemaal duidelijk is, en dit kan een artefact zijn van de numerieke methode, is waarom het traject voor pijlen met hoeken groter dan 45° lager uitvallen in het begin dat de trajecten voor pijl met luchtweerstand. Misschien moet ik daar eens goed over slapen.